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 8.5 cycles per unit. The product of the carrier and the biased audio \+
will be the transmitted signal." }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 157 
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10030 0 10056 10074 0 0 0 20030 0 12020 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 61 
204 0 0 0 0 0 0 }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Using FFTs to
 Reduce Noise" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 124 "We'll add some r
andom noise (uniformly distributed) and some periodic voltage spikes (
possibly caused by an electric motor)." }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 89 "noise := evalf(rand(-2..2)/2):\nspike := k -> if 0=(k mod 229)
 then 4*'noise()' else 0 fi:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "I
n order to use an FFT, we must have a power of two number of samples. \+
Take " }{XPPEDIT 18 0 "2^10=1024" "/*$\"\"#\"#5\"%C5" }{TEXT -1 21 " s
ignal measurements." }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 97 "m := 10:\nn \+
:= 2^m;\nt := k -> 3.*Pi*k/(n-1):\ny := k -> subs(x=t(k), signal+ 'noi
se()' + spike(k));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"nG\"%C5" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"yG:6#%\"kG6\"6$%)operatorG%&arrowG
F(-%%subsG6$/%\"xG-%\"tG6#9$,(%'signalG\"\"\".-%&noiseGF(F7-%&spikeGF3
F7F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 170 "_seed := 1234567
89:    # this keeps the random sequence the same for each execution\nt
imes := evalf([seq(t(k), k=0..n-1)]):\nsamples := evalf(value([seq(y(k
), k=0..n-1)])):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "samp_pl
ot := plot(pts(times,samples), 0..3*Pi, -5..5, color=grey):" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "display([aud_plot, samp_plot
]);" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6'-%'CURVESG6$7_\\l7$\"\"!$!1+++++++
N!#:7$$\"1cR!ys;zc#!#<$!1=(oB&R>tPF+7$$\"17zgbM$e8&F/$!1G<3Pd#Q-%F+7$$
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$\"1eb^cK*o%[F?$!1kn#HZ.v&HF+7$$\"1=t$z%4W\\`F?$!1-sC%=/\"\\DF+7$$\"1y
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"" {MPLTEXT 1 0 193 "clip := proc(r,i,c) local CL,z;\n CL := unapply(z
*U(abs(z)-c),z);\n z := zip((x,y)->x+I*y, convert(r,list), convert(i,l
ist));\n z := map(CL, z);\n RETURN([map(evalc@Re,z), map(evalc@Im,z)])
;\nend:\n " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 "Remove all frequen
cies with power less than 50. The assumption is that noise is low powe
r relative to signal." }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "clip(FR,FI
, 50):\nFRc := array(\"[1]):\nFIc := array(\"\"[2]):" }}}{EXCHG {PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "Take the inverse Fourier transform and lot the \+
results." }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "iFFT(m, FRc, FIc);" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"%C5" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
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\"$F*-%$cosG6#,$F.\"\"&F*-F,6#,$F.\"\"(F*F*-F46#,$*&%#PiGF*F.F*\"#<\"
\"#" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Discretize the signal with
 " }{XPPEDIT 18 0 "2^10=1024" "/*$\"\"#\"#5\"%C5" }{TEXT -1 26 " unifo
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}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"yG:6#%\"kG6\"6$%)operatorG%&arrow
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ud_plot, samp_plot]);" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6'-%'CURVESG6$7_\\
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" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%%maxSG$\"+'4&yT9!\"'" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
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{TEXT -1 45 "A low-pass filter removes higher frequencies." }}{PARA 0 
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);\nend:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Remove all frequencie
s above " }{XPPEDIT 18 0 "omega[c]" "&%&omegaG6#%\"cG" }{TEXT -1 1 ".
" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 71 "low_pass(FR,FI, 1.1*omega[c]):
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%%maxSG$\"+'4&yT9!\"'" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6%-%'CURVESG6$7\\[
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